\(3\left(x+y+z+w\right)=x^2+y^2+z^2+w^2\ge\dfrac{\left(x+y+z+w\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow x+y+z+w\le12\)
Dấu "=" ko xảy ra nên \(x+y+z+w\le11\)
x;y;z;w phân biệt nên: \(x+y+z+w\ge1+2+3+4=10\)
Vậy \(10\le x+y+z+w\le11\)
\[
x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 3(x + y + z + w)
\]
\[
x^2 + y^2 + z^2 + w^2 - 3x - 3y - 3z - 3w = 0
\]
\[
(x^2 - 3x) + (y^2 - 3y) + (z^2 - 3z) + (w^2 - 3w) = 0
\]
\[
x^2 - 3x = x(x-3)
\]
\[
y^2 - 3y = y(y-3)
\]
\[
z^2 - 3z = z(z-3)
\]
\[
w^2 - 3w = w(w-3)
\]
- \( x(x-3) \geq 0 \) với \( x \geq 3 \)
- Tương tự cho \( y, z, w \).
\[
x(x-3) = 4(4-3) = 4
\]
- \( y(y-3) = 1(1-3) = -2 \)
- \( z(z-3) = 2(2-3) = -2 \)
- \( w(w-3) = 3(3-3) = 0 \)
\[
4 - 2 - 2 + 0 = 0
\]
Các số \( x = 4, y = 1, z = 2, w = 3 \) thỏa mãn điều kiện đề bài.
