Tích của 1 số vô tỉ và 1 số nguyên dương là 1 số vô tỉ, vì số vô tỉ là số vô hạn không tuần hoàn nên khi nhân với 1 số nguyên dương sẽ là số vô tỉ.
Tích của một số vô tỷ với một số nguyên dương có thể là số hữu tỷ hoặc vô tỷ, tùy thuộc vào giá trị của số vô tỷ và số nguyên dương.
Nếu số vô tỷ là 0, thì tích của nó với bất kỳ số nguyên dương nào cũng sẽ là 0, một số hữu tỷ.
Nếu số vô tỷ giá khác 0, thì tích của nó với một số nguyên dương sẽ là một số vô tỷ. Điều này có thể được giải thích bằng cách giả sử sử dụng số vô tỷ với số nguyên dương là một số hữu tỷ. Khi đó, ta có thể viết số vô tỷ lệ dưới dạng phân số tối thiểu, tức là số và mẫu số không thể chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào. Nhưng khi nhân số vô tỉ với một số nguyên dương, tử số và mẫu số của phân số tối thiểu này sẽ được nhân với số nguyên dương đó, và do đó sẽ có thể chia hết cho số nguyên dương đó. Điều này trái ngược với giả sử ban đầu, do đó số vô tỷ với số nguyên dương không thể là một số hữu tỷ.
Vì vậy, tích của một số vô tỷ với một số nguyên dương có thể là số hữu tỷ hoặc vô tỷ, tùy thuộc vào giá trị của số vô tỷ và số nguyên dương.
Dùng phương pháp phản chứng em nhé:
a, Gọi số nguyên dương là a ( a \(\in\) Z+)
Giả sử tích của số vô tỉ và số nguyên dương là số hữu tỉ thì khi đó
tích của số vô tỉ với a có dạng : \(\dfrac{b}{c}\) ( b ; c \(\in\) Z; c \(\ne\) 0)
Như thế số vô tỉ bằng: \(\dfrac{b}{c}\) : a = \(\dfrac{b}{c\times a}\) ( là một số hữu tỉ vô lý)
Nên điều giả sử là sai, vậy tích của số vô tỉ với số nguyên dương là một số vô tỉ.
b, Giả sử chỉ có một số vô tỉ, như vậy tích của một số vô tỉ với một số nguyên dương sẽ là số hữu tỉ. Điều này trái với điều đã chứng minh ở trên
Nên điều giả sử là sai, bởi vậy có vô số số vô tỉ
