Question

Thử thách năm mới: Cho một hình vuông cạnh \(a\), dựng hình vuông thứ hai có cạnh là đường chéo của hình vuông đầu tiên, dựng hình vuông thứ ba có cạnh là đường chéo của hình vuông thứ hai, dựng hình vuông thứ tư có cạnh là đường chéo của hình vuông thứ ba và cứ tiếp tục như vậy. Hỏi diện tích của hình vuông thứ 2022 được tạo thành bởi quy luật trên gấp bao nhiêu lần diện tích của hình vuông ban đầu?

Answer 1

Ta có:

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có công thức để tìm đường chéo hình vuông\(=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\)Cứ sau một lần như thế thì cạnh hình vuông sẽ tăng lên \(\sqrt{2}\)hay diện tích hình vuông sau 1 lần như thế thì sẽ gấp\(\sqrt{2}^2=4lần\)

\(\Rightarrow\)Cứ một lần hình vuông bằng cạnh hình vuông trước thì diện tích sẽ gấp 4 lần:

\(\Rightarrow\)Nếu diện tích hình vuông thứ 2022 hay lặp lại cái trên 2022 lần thì diện tích sẽ gấp \(2022\cdot4=8088lần\)hình vuông ban đầu.

Answer 2

Gọi diện tích các hình vuông là S₁ ; S₂ ; ... S₂₀₂₂ với độ dài cạnh tương ứng là a ; a₂ ; a₃ ; ... ; a₂₀₂₂

Dựng hình vuông thứ n có cạnh a_n với độ dài cạnh là đường chéo hình vuông có cạnh a_{n - 1} (n \(\inℕ^∗\) )

=> S_n = (a_n)² (1)

S_{n - 1} = (a_n-1)² (2) 

Khi đó (a_n)²= 2(a_{n - 1})² 

=> \(a_n=\sqrt{2}a_{n-1}\)(3) 

Từ (3)(2)(1) => \(S_n=2.S_{n-1}\)

Khi đó với 1 < n < 2023

=> \(S_{2022}=2S_{2021}=2^2S_{2020}=...=2^{2021}S_1\)= 2²⁰²¹a²