This time not the one I create. My discord friend assignment. I translate to you
*Chúc mn thi HK tốt* (mention this one)
Problem : Tìm GTNN của A với a,b,c là các số thực dương:
\(A=\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2-ab}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2-bc}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2-ac}\right)\left(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\right)\)
P/s: Chưa giải đc, chỉ có hướng
Producer: My dicord friend's homework in grade 8 in India. He has already solved it :(
Bạn Cà Bui hình như bị ngược dấu sau khi áp dụng :BĐT AM-GM dạng Engel rồi thì phải : \(\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}\le\frac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\) chứ?Sau đây là phương pháp của mình và thêm một :cái note là mình cũng không chắc nên nếu sai xin hãy góp ý chớ đừng "bốc phốt" nha!
Ta sẽ c/m \(A\ge1\).Thật vậy,ta có:
\(A=\left(\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\right)\left(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\right)\left(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\right)\)
\(\ge\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\).Dấu "=" xảy ra khi x = y = z. Ta được:
\(A\ge\frac{9}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{9}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
\(=\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Vậy min A = 1 khi a =b = c
Oops. I find a method for the problem. It's easier than I think
Đăng mà không ai vào làm :(
Xin share method của mik:
Đặt \(A_1=\frac{1}{\left(a+b\right)^2-ab}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2-bc}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2-ac}=\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2+ac}\)Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM engel:
\(A_1\ge\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{9}{3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)(1)
Đặt:
\(A_2=\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}=\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\)
áp dụng AM-GM engel:
\(A_2\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ac\right)}\)
Sử dụng Bđt: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge ab+bc+ac\)
\(A_2\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ac\right)\cdot3}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)Do đó: \(A=A_1\cdot A_2\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}=1\)
Vậy Min A=1 khi a=b=c
