Question

tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ AE vuông góc BD, AAE cắt BC ở K

a) chứng minh tam ABK cân tại B

b) CM DK vuông góc BC

c) Kẻ AH vuông góc BC. CM: AK là phân giác của góc HAC

d) Gọi I là giao điểm của AH và BD. CM IK// AC

Answer 1

a) Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông KBE có

Cạnh BE chung

DBA=DBK hay EBA=EBA ( vì BD là phân giác của góc ABC)

=>\(\Delta ABE=\Delta KBE\) ( cạnh góc vuông- góc nhọn)

=>BA=BK

Vậy tam giác ABK cân tại B

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta KBD\) có

AB=BK

ABD=KBD

Cạnh BD chung

=> \(\Delta ABD=\Delta KBD\left(c.g.c\right)\)

=> DKB=DAB=90 độ

Vậy \(DK⊥BC\)

c)d)

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KBI\) có

BA=BK

ABI=FBI

Cạnh BF chung

=> \(\Delta ABI=\Delta KBI\left(c.g.c\right)\)

=> IA=IK

Ta có DA=DK, IA=IK hay ID là đường trung trực của AK

=>AE=EK

Có \(DK⊥BC,AH⊥BC\)  => DK//AH

=>DKE=EAI( 2 góc so le trong)

Xét tam giác vuông DKE và tam giác vuông EAI có

AE=EK

DKE=EAI

=> \(\Delta DKE=\Delta EAI\)(cạnh góc vuông- góc nhọn)

=>DK=AI

Mà DK=DA

=>AI=AD

Xét tam giác vuông DAE và tam giác vuông IAE có

DA=DI

Cạnh AE chung

=> \(\Delta DAE=\Delta IAE\)( cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=>DAE=EAI hay góc CAK= góc KAH

Vậy AK là phân giác của HAC

Xét tam giác vuông IKE và tam giác vuông EAD có

AE=EK

KEI=AED( 2 góc đối đỉnh)

=>\(\Delta IKE=\Delta EAD\)( cạnh góc vuông- góc nhọn)

=>IKE=EAD

Mà IKE và EAD là 2 góc so le trong =>IK//AC