Question

 Tam giác ABC cân tại A có góc A = 1200, các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O,cắt cạnh BC lần lượt tại E và F.Chứng minh E là trực tâm, trọng tâm tam giác OAB và F là trực tâm, trọng tâm tam giác OAC

Answer 1

O nằm trên đường trung trực của AB

=>OA=OB(1)

O nằm trên đường trung trực của AC

=>OA=OC(2)

Từ (1),(2) suy ra OB=OC

OE là đường trung trực của AB

=>OE\(\perp\)AB

OF là đường trung trực của AC

=>OF\(\perp\)AC

Xét ΔABO và ΔACO có

AB=AC

BO=CO

AO chung

Do đó: ΔABO=ΔACO

=>\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

=>AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=60^0\)

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AO là đường phân giác

nên AO\(\perp\)BC

Xét ΔOAB có

BE,OE là các đường cao

BE cắt OE tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔOAB

Xét ΔOAB có OA=OB và \(\widehat{OAB}=60^0\)

nên ΔOAB đều

Ta có ΔOAB đều

mà E là trực tâm

nên E là trọng tâm của ΔOAB

Xét ΔOAC có

OA=OC và \(\widehat{OAC}=60^0\)

nên ΔOAC đều

Xét ΔOAC có

OF,CF là các đường cao

OF cắt CF tại F

Do đó: F là trực tâm của ΔOAC

Ta có: ΔOAC đều

mà F là trực tâm

nên F là trọng tâm của ΔOAC