\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2019}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{2019}-\sqrt{b}\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2=\left(\sqrt{2019}-\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a=2019-2.\sqrt{2019b}+b\)
Vì a,b,2019 ∈ Z nên \(2.\sqrt{2019b}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{2019b}\in Z\)
<=> 2019b là số chính phương <=> b có dạng 2019k^2(k ∈ N).Do đó, a có dạng 2019m^2(m ∈ N)
Thay vào , ta có \(\sqrt{2019m^2}+\sqrt{2019k^2}=\sqrt{2019}\)
\(\Leftrightarrow m.\sqrt{2019}+k.\sqrt{2019}=\sqrt{2019}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2019}\left(k+m\right)=\sqrt{2019}\)\(\Leftrightarrow k+m=1\)
Mà k,m ∈ N nên xảy ra 2 TH: k = 0, m = 1 hoặc k = 1,m = 0
-Xét k = 0, m = 1, ta có a = 2019,b = 0
-Xét k = 1,m = 0, ta có a = 0, b = 2019
Vậy...
