Ý tưởng; Dựa vào "thế hình" của đề bài, ta dự đoán biểu thức trong căn sẽ phân tích được thành lũy thừa bậc 3 của một biểu thức có dạng \(a+\sqrt{3}\left(a\inℤ\right)\). Ta thấy:
\(\left(a+\sqrt{3}\right)^3=a^3+3a^2\sqrt{3}+9a+3\sqrt{3}\) \(=a^3+9a+\left(3a^2+3\right)\sqrt{3}\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+9a=26\\3a^2+3=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a^2+9\right)=26\\a^2+1=5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=\pm2\). Nhưng rõ ràng \(a=-2\) không thỏa. Vậy \(a=2\).
Trình bày: Ta có
\(\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt[3]{8+12\sqrt{3}+18+3\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt[3]{2^3+3.2^2.\sqrt{3}+3.2\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^3}\)
\(=\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^3}\)
\(=2+\sqrt{3}\)
