a: Xét tứ giác OBAC có 
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại B
=>BC\(\perp\)BD
mà OA\(\perp\)BC
nên OA//BD
b: ta có: OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
c: Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{BAO}=30^0\)
ΔOBA vuông tại B
=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)
=>\(AB=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
Xét (O) có AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AO là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)
Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)
nên ΔABC đều
=>\(S_{BAC}=BA^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}\cdot R^2}{4}\)
ΔABC đều
=>AB=AC=BC
=>\(BC=R\sqrt{3}\)
ΔCBD vuông tại B
=>\(CB^2+BD^2=CD^2\)
=>\(BD=\sqrt{\left(2R\right)^2-\left(R\sqrt{3}\right)^2}=R\)
ΔCBD vuông tại B
=>\(S_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot BD=\dfrac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)
Diện tích tứ giác DBAC là:
\(S_{DBAC}=S_{DBC}+S_{ABC}=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}+3\sqrt{3}\cdot\dfrac{R^2}{4}=\dfrac{2R^2\cdot\sqrt{3}+3\sqrt{3}\cdot R^2}{4}=\dfrac{R^2\cdot5\sqrt{3}}{4}\)
