(Nghi binh 19/09)
Không khó nhưng thử thách sự kiên nhẫn:
Cho phương trình: \(x^3+ax^2+bx-1=0\)(1)
a) Tìm các số hữu tỉ a,b để phương trình (1) có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\)
b) Với giá trị a,b tìm được, gọi \(x_1,x_2,x_3\)là 3 nghiệm của phương trình (1) và đặt:
\(S_n=\frac{1}{x_1^n}+\frac{1}{x_2^n}+\frac{1}{x_3^n}\)
Tính \(S_5\)và chứng minh rằng \(S_n\in Z\)
a) Phương trình có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\) nên :
\(\left(2-\sqrt{3}\right)^3+a.\left(2-\sqrt{3}\right)^2+\left(2-\sqrt{3}\right)b-1=0\)
\(\Leftrightarrow20-11\sqrt{3}+a.\left(7-4\sqrt{3}\right)+2b-b\sqrt{3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow7a+2b+19=\sqrt{3}.\left(11+4a+b\right)\) (*)
Với a,b là các số hữu tỉ thì từ (*) suy ra :
\(\hept{\begin{cases}7a+2b+19=0\\11+4a+b=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-1\end{cases}}\) ( Thỏa mãn )
b) Hóng cách làm vì mình không biết làm :((
