Question

Một bất đẳng thức đẹp

Cho x,y,z là các thực không âm thỏa mãn\(x+y+z=3\)Tìm giá trị nhỏ nhất của 

 \(P=\frac{x^2}{y^2+1}+\frac{y^2}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1}\)

Answer 1

\(P=\frac{x^2}{y^2+1}+\frac{y^2}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2}\)

Với \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+3}\)

Xét:\(\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+3}-\frac{3}{2}=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2+3\right)}\ge0\)

Đến đây xong rồi he

Answer 2

nub vậy giả thiết bằng thừa nhỉ ta:D

Answer 3

Cách bạn kia hay thật, cách mình xấu lắm:

Đặt \(x=\frac{3a}{a+b+c};y=\frac{3b}{a+b+c};z=\frac{3c}{a+b+c}\) . Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Đặt \(a=c+u;b=c+x\). Ta nhận được một bất đẳng thức hiển nhiên:

https://i.imgur.com/aniUwj2.png

Để hôm nào rảnh thử SOS bài này:D Cách trên là Buffalo Way.

Answer 4

Cái cuối cùng trong bài mình: 5*x^4 + 8*x^3*y - 3*x^2*y^2 - 10*x*y^3 + 50*y^4 có vẻ hơi khó nhóm thành tổng các bình phương nhỉ?

Answer 5

Cách 3 là dùng hàm sos do t viết trên nền Maple (đang trong giai đoạn thử nghiệm:v)