1:
a: BH+HC=BC
=>BH=8-2=6(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BA^2=BH\cdot BC\)
=>\(BA^2=6\cdot8=48\)
=>\(BA=\sqrt{48}=4\sqrt3\) (cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(CA^2=CH\cdot CB=2\cdot8=16=4^2\)
=>CA=4(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot8=4\sqrt3\cdot4=16\sqrt3\)
=>\(AH=\frac{16\sqrt3}{8}=2\sqrt3\) (cm)
b: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên \(AM=\frac{BC}{2}=4\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHM vuông tại H
=>\(AH^2+HM^2=AM^2\)
=>\(HM^2=4^2-\left(2\sqrt3\right)^2=16-12=4=2^2\)
=>HM=2(cm)
ΔAHM vuông tại H
=>\(S_{HAM}=\frac12\cdot HA\cdot HM=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot2=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
2: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
góc EAF chung
Do đó; ΔAEF~ΔACB
Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
=>AH=EF
AEHF là hình chữ nhật
=>AH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điêm chung của AH và EF
Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)
\(OE=OF=\frac{EF}{2}\)
mà AH=EF
nên OA=OH=OE=OF=AH/2=EF/2
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(HB\cdot HC=AH^2=2\cdot OE\cdot2\cdot OF=4\cdot OE\cdot OF\)
