xD
Có: \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)(1)
\(=\frac{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(y-x\right)\left(x+y\right)}{z+x}+\frac{\left(z-y\right)\left(y+z\right)}{x+y}\)
\(\left(1\right)=S_1\left(x-z\right)^2+S_2\left(y-x\right)^2+S_3\left(z-y\right)^2\)
Trong đó:
\(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\\S_2=\frac{x+y}{\left(z+x\right)\left(y-x\right)}\\S_3=\frac{y+z}{\left(x+y\right)\left(z-y\right)}\end{cases}}\)
Giả sử: \(x\ge y\ge z\)( x,y,z lớn hơn 0)
Có: \(S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\ge0\)
Xét: \(S_1+S_2=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}-\frac{x+y}{\left(x+z\right)\left(x-y\right)}=\frac{\left(x+z\right)^2+\left(x+y\right)\left(y+z\right)^2+\left(y+z\right)\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)}{.....}\ge0\)
Xét tiếp \(S_1+S_3\)là xong
Không biết đúng k tại mình hơi yếu
*Nếu được giả sử như bạn Cà Bùi thì bài làm của em như sau,mong mọi người góp ý ạ!
Ta có: \(VT=\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}-\frac{x^2-z^2+y^2-x^2}{x+y}\)
\(=\left(x^2-z^2\right)\left(\frac{x+y-y-z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)+\left(y^2-x^2\right)\left(\frac{x+y-z-x}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}\right)\) (nhóm các số thích hợp + quy đồng)
\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}{\left(z+x\right)}\)
Do a, b, c có tính chất hoán vị, nên ta giả sử y là số lớn nhất. Khi đó vế trái không âm hay ta có đpcm.
Cái em làm là bán SOS nha (tức là bán bình phương). Còn cái t ghi đầu bài bán S*O*S - Bán Schur gì đấy là em lấy cái tên ở :PHƯƠNG PHÁP "BÁN SCHUR- BÁN SOS"-Diễn đàn Toán học nha!
Hay là bài này dùng Sos thế này ạ?Quy đồng tất cả lên rồi khai triển ra,ta cần chứng minh:
\(\frac{x^4+y^4+z^4-x^2y^2-y^2z^2-z^2x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+\left(y^2-z^2\right)^2+\left(z^2-x^2\right)^2}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)
BĐT đúng hay ta có đpcm.
P/s: Nhìn thế thôi chứ quy đồng + khai triển + rút gọn mệt lắm,cái này gọi là làm siêu vắn tắt :D
Có một cách SOS siêu cồng kềnh đây! (Khủng bố tinh thần tí)
Giả sử \(y=min\left\{a,b,c\right\}\). Ta có:
\(VT=\frac{\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2\left(4x^2-xy+7zx-y^2-yz+4z^2\right)+\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+z-2y\right)^2}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)^2}\ge0\)
Vì \(4x^2-xy+7zx-y^2-yz+4z^2\)
\(=x\left(4x-y\right)+z\left(7x-y\right)+\left(2z-y\right)\left(2z+y\right)>0\)
Ta có đpcm.
