Bài giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Vì đáy ABCD là hình vuông nên AC vuông góc BD tại O.
Mà SD ⊥ (ABCD) nên SD ⊥ AC.
Ta có:
AC ⊥ BD
AC ⊥ SD
Mà BD và SD là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (SDB).
Suy ra:
AC ⊥ (SDB)
Do đó, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SDB) là O.
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SDB) là góc ASO.
Xét tam giác vuông SDO:
DB là đường chéo hình vuông cạnh √37a nên:
DB = √37a . √2 = √74a
DO = DB : 2 = √74a / 2
SD = 4a
SO² = SD² + DO²
SO² = (4a)² + (√74a / 2)²
SO² = 16a² + 74a²/4
SO² = 138a²/4
SO = √138a / 2
Ta có:
AO = AC : 2 = √74a / 2
Trong tam giác vuông SAO:
tan góc ASO = AO / SO
tan góc ASO = (√74a / 2) : (√138a / 2)
tan góc ASO = √74 / √138
tan góc ASO = √(37/69)
Suy ra:
góc ASO ≈ 36°13'
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SDB) xấp xỉ 36°13'.
