a.
Do \(OB=OC=R\) và \(AB=AC\) (hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow OA\) là trung trực của BC
\(\Rightarrow OA\perp BC\) và H là trung điểm của BC
\(\Rightarrow HK\) là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow HK||AB\)
\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{DKH}\) (so le trong)
Lại có \(\widehat{ABK}=\widehat{DCH}\) (góc nt và góc tạo bởi tt - dây cung cùng chắn BD)
\(\Rightarrow\widehat{DKH}=\widehat{DCH}\)
Mà C và K cùng nằm về 1 nửa mp bở DH
\(\Rightarrow CHDK\) nội tiếp
b.
Xét 2 tam giác BCK và CDK có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{K}-chung\\\widehat{CBK}=\widehat{DCK}\left(\text{cùng chắn CD}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BCK\sim\Delta CDK\left(g.g\right)\) (1)
\(\Rightarrow\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{KB}{KC}\Rightarrow KC^2=KD.KB\)
Mà K là trung điểm AC \(\Rightarrow KC=KA\)
\(\Rightarrow KA^2=KD.KB\Rightarrow\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{KB}{KA}\)
Xét hai tam giác KAB và KDA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{KB}{KA}\\\widehat{K}-chung\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta KAB\sim\Delta KDA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KBA}=\widehat{KAD}\)
Mà \(\widehat{KBA}=\widehat{BED}\) (cùng chắn BD)
\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{BED}\)
\(\Rightarrow BE||AC\) (hai góc so le trong bằng nhau)
c.
Do BE song song AC, áp dụng định lý Talet:
\(\dfrac{SI}{KI}=\dfrac{SB}{KC}\)
Đồng thời: \(\dfrac{SI}{KI}=\dfrac{SE}{KA}\)
\(\Rightarrow\dfrac{SB}{KC}=\dfrac{SE}{KA}\Rightarrow SB=SE\) (do \(KC=KA\) theo gt)
\(\Rightarrow S\) là trung điểm BE \(\Rightarrow SH\) là đường trung bình tam giác BCE
\(\Rightarrow SH=\dfrac{1}{2}CE\)
Lại có \(\widehat{CBE}=\widehat{BCK}\) (so le trong)
\(\widehat{BCK}=\widehat{CEB}\) (cùng chắn BC)
\(\Rightarrow\widehat{CBE}=\widehat{CEB}\Rightarrow\Delta CBE\) cân tại C
\(\Rightarrow CE=CB\Rightarrow HS=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=2HS\\BH=\dfrac{1}{2}BC=HS\end{matrix}\right.\)
Do CHDK nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BCK}=\widehat{BDH}\) (cùng bù \(\widehat{KDH}\))
\(\Rightarrow\Delta BHD\sim\Delta BKC\left(g.g\right)\) (chung góc B)
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BD}{BC}\Rightarrow BD.BK=BH.BC=HS.2HS=2HS^2\)
