Question

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho tứ giác ABCD(AB ko song song với CD).Gọi I,J thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh AC+BD+2IJ<AB+BC+CD+DA.

Thanks các bạn nhìu

Answer 1

Bổ đề: Cho tứ giác lồi bất kì thì tổng hai cạnh đối bé hơn tổng hai đường chéo (dễ chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác) (**)

Gọi E là giao điểm của AB và CD. Có thể xảy ra hai khả năng: ^B ≥ ^C hoặc ^B ≤ ^C

Giả sử ^B ≥ ^C (không mất tính tổng quát)

Trên tia đối của tia JA lấy K sao cho JA = JK

Dễ dàng có AD = BK  (tứ giác ABKD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành)

IJ là đường trung bình của ∆ACK nên CK = 2IJ

Áp dụng bổ đề (**) vào tứ giác BCKD, ta được: BD + CK < CD + BK 

Vậy BD + 2IJ < CD + AD (1)

Trong ∆ABC thì AC < AB + BC (2)

Cộng vế với vế (1) và (2), ta được: AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA