Question

mình có 1 cách rất độc đáo ((((((((=

Cho a,b,c là các số thực dương 

Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\ge3\)

Answer 1

Ta có:\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c-a}=\frac{2a}{b+c}\)(BĐT cô-si)

CMTT:\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}\ge\frac{2b}{c+a}\\\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\ge\frac{2c}{a+b}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\ge2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=2\left(\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\right)\)

\(\ge2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mặt khác \(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Do đó:\(\Rightarrow VT\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=3\left(ĐPCM\right)\)

Đấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Answer 2

cô si xong rồi dùng nesbitt là được , không cần phải làm vậy đâu ^^