\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=\dfrac{5}{2}\\x+y=5\left(1\right)\end{matrix}\right.\left(xy>0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=\dfrac{25}{4}\\x^2+y^2+2xy=25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{17}{4}\\x^2+y^2+2xy=25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=\dfrac{17}{4}xy\\\dfrac{17}{4}xy+2xy=25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=17\\xy=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1), (2), suy ra \(x,y\) là nghiệm của phương trình: \(t^2-5t+4=0\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;4\right);\left(4;1\right)\right\}\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;4\right);\left(4;1\right)\right\}\)
ĐKXĐ: \(xy>0\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{x}{y}}=t>0\) từ pt đầu ta được:
\(t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow2t^2-5t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x}{y}}=2\\\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=4\\\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4y\\y=4x\end{matrix}\right.\)
Th1: \(x=4y\) thế vào pt dưới
\(\Rightarrow4y+y=5\Rightarrow y=1\Rightarrow x=4\)
TH2: \(y=4x\) thế vào pt dưới:
\(x+4x=5\Rightarrow x=1\Rightarrow y=4\)
