Áp dụng BĐT Cauchy: \(\left(a^2+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^2+a+\frac{3}{4}\right)\)
\(=\left[\left(a^2+\frac{1}{4}\right)+b+\frac{1}{2}\right]\left[\left(b^2+\frac{1}{4}\right)+a+\frac{1}{2}\right]\)
\(\ge\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\) (Vì áp dụng BĐT Cauchy: \(a^2+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{4}}=a;b^2+\frac{1}{4}\ge b\))
Vậy ta chứng minh: \(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)
Ta có: \(VT-VP=\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy BĐT (*) đúng \(\Rightarrow\) \(\left(a^2+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^2+a+\frac{3}{4}\right)\ge\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)(đpcm)
Bổ sung điều kiện a, b là các số thực dương nha! Và:
"Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)"
Cách 2:
\(VT-VP\)
\(=\frac{1}{16}\left(2a-1\right)^2\left(2b-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\left[\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2\right]+\left(a-b\right)^2\ge0\)
Cách 3:
\(=\frac{1}{16}\left(2a-1\right)^2\left(2b-1\right)^2+\frac{1}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\left(a+b-1\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{5}{4}\right)\ge0\)
P/s: Cách 2 được suy ra từ cách 1, còn cách 3 được suy ra từ cách 2:P Hiện tại em chưa tìm ra cách phân tích nàn ngắn hơn thế này.
Đoạn cuối mik làm khác tth_new tí,đoạn trên y hệt nha
\(\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)=4\left(a+\frac{1}{4}\right)\left(b+\frac{1}{4}\right)\le\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2\) ( nhanh hơn VT-VP phải ko nào )
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=\frac{1}{2}\)
coolkid của t đẹp hơn nhiều:PP
tth_new Của you đẹp nhưng mà dài,của t ngắn nhưng mà chất :)
Đó là bn viết tắt ó,nếu ko viết tắt chắc tầm 4 đến 5 dòng,của t cô si một lần là ra :)
coolkid t ko viết tắt âu, phân tích kỹ càng đó
Ta có:\(VT-VP=\left(a-b\right)^2\) là phân tích kỹ càng á tth_new
