Question

làm cả câu c giúp mình nha (đừng chỉ làm mỗi câu a, b) :)))

Bài II. Cho các biểu thức \( A = \frac{x+7}{3\sqrt{x}} \) và \( B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} - \frac{7\sqrt{x}+3}{x-9} \)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 16 \)

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = A \cdot B \)

Answer 1

ĐKXĐ: $x>0;x\ne 9$

a) Với $x=16$ (tm ĐKXĐ) thì:

$A=\frac{16+7}{3\sqrt{16}}=\frac{23}{12}$

b) Với $x>0;x\ne9$:

$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{7\sqrt{x}+3}{x-9}$

$=\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}+\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}-\frac{7\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{x+4\sqrt{x}+3+2x-6\sqrt{x}-7\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{3x-9\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

c) Với $x>0;x\ne9$:

$P=A.B$

$=\frac{x+7}{3\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

$=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}$

Xét $P-2=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}-2$

$=\frac{x+7-2(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3}$

$=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}+3}$

Ta thấy: $\begin{cases} (\sqrt{x}-1)^2\ge0\forall x\ge 0 \\ \sqrt{x}+3\ge 0\forall x\ge 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}+3}\ge0\forall x\ge 0$

$\Rightarrow P-2\ge0\forall x>0;x\ne9$

$\Rightarrow P\ge2\forall x>0;x\ne9$

Dấu "=" xảy ra khi: $\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1$ (tm ĐKXĐ)

Vậy $Min_{P}=2$ tại $x=1$.

$Toru$