Lời giải:
Đặt \(A=1^3+2^3+3^3+...+2008^3=\)
\(1^3+2008^3+2^3+2007^3+...+1004^3+1005^3\)
Ta có :
\(1^3+2008^3=\left(1+2008\right)\left[1-2008+2008^2\right]\)
\(2^3+2007^3=\left(2+2007\right)\left[2^2-2.2007+2007^2\right]\)
...
\(1004^3+1005^3=\left(1004+1005\right).[1004^2-1004.1005+1005^2].\)
Mặt khác \(1+2008=2+2007=...=1004+1005=2009\)
Vì 2009 chia hết cho 7 nên ngày đó là chủ nhật.
Ta có:
\(1^3+2^3+3^3+...+2008^3\)
\(=\left(1+2+3+...+2008\right)^2\)
\(=\left(\frac{2008.2009}{2}\right)^2\)
\(=\left(1004.287.7\right)^2⋮7\)
Do đó sau \(\left(1004.287.7\right)^2\) hay \(1^3+2^3+3^3+...+2008^3\) ngày sẽ là chủ nhật trong tuần.
Ta có công thức sau : 13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2
Suy ra : ta có sau 20170362 ngày
Ta thấy rằng : 2017036 chia hết cho 7 (vì một tuần có 7 ngày) suy ra : 20170362 chia hết cho 7
Suy ra sau 13+23+...+20083 sẽ rơi vào ngày chủ nhật
