Làm cách kia cx đc, nhưng làm vậy ko thông minh lắm.
\(Đk:x\ge-2\)
\(3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=2x^2-3x+10\)
Ta đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\sqrt{x+2}\left(u\ge0\right)\\v=\sqrt{x^2-2x+4}\left(v\ge2\sqrt{3}\right)\end{matrix}\right.\)
Khi đó phương trình trở thành:
\(3uv=2v^2+u^2\)
\(\Leftrightarrow2v^2-3uv+u^2=0\)
\(\Leftrightarrow2v^2-2uv-uv+u^2=0\)
\(\Leftrightarrow2v\left(v-u\right)-u\left(v-u\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(v-u\right)\left(2v-u\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}v=u\\2v=u\end{matrix}\right.\)
Với \(v=u\Rightarrow\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{x+2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+4=x+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-2x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(2v=u\Rightarrow2\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{x+2}\)
\(\Rightarrow4\left(x^2-2x+4\right)=x+2\)
\(\Leftrightarrow4x^2-8x+16=x+2\)
\(\Leftrightarrow4x^2-9x+14=0\)
\(\Delta=\left(-9\right)^2-4.4.14=-143< 0\)
\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{1;2\right\}\)
\(3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=2x^2-3x+10\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow9\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)=\left(2x^2-3x+10\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8\right)=4x^4-6x^3+9x^2-30x+20x^2-30x+100\)
\(\Leftrightarrow9x^3-18x^2+36x+18x^2-36x+72-4x^4+6x^3-20x^2+6x^3-9x^2+30x-20x^2+30x-100=0\)
\(\Leftrightarrow-4x^4+21x^3-49x^2+60x-28=0\left(2\right)\)
Nhận thấy, \(x=1\) và \(x=2\) là nghiệm của phương trình \(\left(2\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(-4x^2+9x-14\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\\-4x^2+9x-14=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\\left(x-\dfrac{9}{8}\right)^2=-\dfrac{143}{16}\left(\text{vô lí}\right)\end{matrix}\right.\)
Thử lại nghiệm \(x=1;x=2\) vào phương trình \(\left(1\right)\) thấy nghiệm \(x=2\) thỏa mãn.
