Gọi AM, BN, CP là các đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G.
AG = GD (gt)
AG = 2GM (suy ra từ tính chất đường trung tuyến)
Nên GD = 2GM
GD = GM + MD
=> GM = MD
Xét ∆BMD và ∆CMG:
BM = CM (gt)
\(\widehat{BND}=\widehat{CMG}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)
MD = GM (chứng minh trên)
Do đó: ∆BMD = ∆CMG (c.g.c)
=> BD = CG
\(CG=\frac{2}{3}CP\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)
\(\Rightarrow BD=\frac{2}{3}CP\) (1)
\(BG=\frac{2}{3}BN\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\) (2)
\(AG=\frac{2}{3}AM\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)
\(\Rightarrow GD=\frac{2}{3}AM\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\frac{2}{3}\) các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
GM = MD (chứng minh trên)
Nên BM = MD là đường trung tuyến của ∆BGD
\(BM=\frac{1}{2}BC\) (4)
Kẻ đường trung tuyến GE và DF của ∆BGD
\(\Rightarrow FG=\frac{1}{2}BG\)
\(GN=\frac{1}{2}BG\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)
Nên FN = GN
Xét ∆DFG và ∆ANG:
AG = GD (gt)
\(\widehat{DGF}=\widehat{AGN}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)
GF = GN (chứng minh trên)
Do đó ∆DFG = ∆ANG (c.g.c)
=> DF = AN
\(AN=\frac{1}{2}AC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow DF=\frac{1}{2}AC\) (5)
BD = CG (chứng minh trên)
\(ED=\frac{1}{2}BD\left(\text{vì E là trung điểm BD}\right)\)
\(GP=\frac{1}{2}CG\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)
=> ED = GP
∆BDM = ∆CGM (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{CGM}\text{ hay }\widehat{CGM}\)
\(\widehat{CGM}=\widehat{PGA}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EDG}=\widehat{PGA}\)
AG = GD (gt)
=> ∆PGA = ∆EDG (c.g.c)
=> GE = AP
\(\Rightarrow GE=\frac{1}{2}AB\)(6)
Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ∆BGD bằng một nửa cạnh của ∆ABC.
