Question

Gọi a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: c 2 x 2 + a 2 - b 2 - c 2 x + b 2  = 0.

Answer 1

c 2 x 2 + a 2 - b 2 - c 2 x + b 2 = 0.

Δ = a 2 - b 2 - c 2 2  - 4 b 2 c 2

=  a 2 - b 2 - c 2 2  - 2 b c 2

= ( a 2 - b 2 - c 2  + 2bc)( a 2 - b 2 - c 2  - 2bc)

= [ a 2  - b - c 2 ][ a 2  - b + c 2 ]

= (a + b – c)(a – b + c)(a + b + c)(a – b – c)

Vì a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác, dựa vào tính chất bất đẳng thức tam giác, ta có: |b – c| < a < b + c.

Do đó a + b + c > 0; a + b – c > 0; a – b + c > 0 còn a – b – c < 0.

Suy ra Δ < 0. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.