Question

giúp mk với :(

a) c/m rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

b) C/m rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đấy.

Answer 1

b) Gọi tứ giác cần chứng minh là ABCD, giao điểm hai đường chéo AC và BD là O

Xét ΔABO có AO+OB>AB

Xét ΔCOD có OC+OD>CD

Xét ΔAOD có OA+OD>AD

Xét ΔBOC có OB+OC>BC

Ta có: AC+BD=AO+OB+OC+OD

\(\Leftrightarrow AC+BD>AB+CD\)

Ta có: AC+BD=AO+OD+OB+OC

\(\Leftrightarrow AC+BD>AD+BC\)

mà AC+BD>AB+CD

nên \(2\left(AC+BD\right)>AB+AD+BC+CD\)

\(\Leftrightarrow AC+BD>\dfrac{AB+AD+BC+CD}{2}\)

Xét ΔABD có BD<AB+AD

Xét ΔCBD có BD<BC+CD

Xét ΔABC có AC<AB+BC

Xét ΔADC có AC<AD+DC

Do đó: BD+BD+AC+AC<2(AB+AD+CD+BC)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+AD+CD+BC\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM