a: ΔABC cân tại A
=>AB=AC
=>AB=AC+10(cm)
Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}\)
=>\(\frac{AD}{10}=\frac{CD}{12}\)
=>\(\frac{AD}{5}=\frac{CD}{6}\)
mà AD+CD=AC=AC=10cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{AD}{5}=\frac{CD}{6}=\frac{AD+CD}{5+6}=\frac{10}{11}\)
=>\(\begin{cases}AD=5\cdot\frac{10}{11}=\frac{50}{11}\left(\operatorname{cm}\right)\\ CD=6\cdot\frac{10}{11}=\frac{60}{11}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)
b: Ta có: \(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)
\(\hat{ACE}=\hat{BCE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)
mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)
nên \(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\hat{ACE}=\hat{BCE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)
AB=AC
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD=ΔACE
=>AD=AE
=>\(AD=AE=\frac{50}{11}\left(\operatorname{cm}\right)\)
AE+EB=AB
=>\(EB=10-\frac{50}{11}=\frac{110}{11}-\frac{50}{11}=\frac{60}{11}\) (cm)
c: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên H là trung điểm của BC
=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(HA^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)
=>HA=8(cm)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot12\cdot8=6\cdot8=48\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Nửa chu vi tam giác ABC là:
\(p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+10+12}{2}=\frac{32}{2}=16\left(\operatorname{cm}\right)\)
Ta có: S=pr
=>\(r=\frac{48}{16}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC có
BD,CE la các đường phân giác
BD cắt CE tại I
Do đó; I là tâm đương tròn nội tiếp ΔABC
=>\(d\left(I;BC\right)=r\)
=>r=3(cm)
=>IH=3cm
AI+IH=AH
=>AI=8-3=5(cm)
