\(AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{3}\)
a.
Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{SCA}=30^0\)
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
\(\Rightarrow SD\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
\(\Rightarrow\widehat{CSD}\) là góc giữa SC và (SAD)
\(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt{3}\)
\(tan\widehat{CSD}=\dfrac{CD}{SD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{CSD}=30^0\)
c.
Trong mp (SAB), từ A hạ \(AE\perp SB\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp AE\) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
d.
Trong mp (SAD), từ A hạ \(AF\perp SD\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}OC=\dfrac{1}{2}AC\\AO\cap\left(SCD\right)=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)
Theo chứng minh câu b, \(CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AF\)
\(\Rightarrow AF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AF=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)
Hệ thức lượng: \(AF=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{1}{2}AF=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\)
