Đặt \(x=a+b=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow x^3=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}.x\)
\(\Leftrightarrow x^3=4+\sqrt[3]{4-5}.x\)
\(\Leftrightarrow x^3=4-3x\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2+x^2-x+4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+4\right)=0\)
Vì \(x^2+x+4=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\left(\forall x\right)\)
Nên \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(x=a+b=1\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\) (đpcm)
Dòng thứ 3 và thứ 4 bạn thiếu số 3 nhé @ Ngân@
\(3\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{5}\right).\left(2-\sqrt{5}\right)}.x\)
Xin cảm ơn cô Linh Chi và bạn Lam Hàng ạ
