Ta có :
\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)
tương tự : \(\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}.\left(y+\frac{9}{z}\right)\); \(\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}.\left(z+\frac{9}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)
Chơi thêm một phát nữa cho phức tạp :D. Cách này em làm chơi thôi á! Dài dòng lắm!
Ta chứng minh BĐT phụ (hay còn gọi là Mincopxki): \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) với a,b,c,d thuộc R.
Bình phương hai vế và khai triển ra hết:,ta có:\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2\left(ac+bd\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(ac+bd\right)\)
Bình phương hai vế, BĐT tương đương với:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\). Nhân tung hết mấy cái ngoặc ra,ta cần c/m:
\(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2\ge2.ad.bc\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (BĐT đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\).
Áp dụng BĐT trên hai lần,ta có:
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{81\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}-80\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{81\left(x+y+z\right)^2.\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}-80.1^2}\) (Cô si hay AM-GM các kiểu -__-")
\(=\sqrt{2.81-80}=\sqrt{82}\left(Q.E.D\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) (anh/chị giải rõ ra nha :( máy em bị lag rồi)
