Đặt \(A=1\cdot2018+2\cdot2017+\cdots+2018\cdot1\)
\(=2\cdot\left(1\cdot2018+2\cdot2017+\cdots+1009\cdot1010\right)\)
\(=2\left\lbrack1\left(2019-1\right)+2\left(2019-2\right)+\cdots+1009\left(2019-1009\right)\right\rbrack\)
\(=2\left\lbrack2019\cdot\left(1+2+\cdots+1009\right)-\left(1^2+2^2+\cdots+1009^2\right)\right\rbrack\)
\(=2\cdot\left\lbrack2019\cdot\frac{1009\cdot1010}{2}-\frac{1009\left(1009+1\right)\left(2\cdot1009+1\right)}{6}\right\rbrack\)
\(=2\cdot\left\lbrack2019\cdot1009\cdot\frac{1010}{2}-\frac{1009\cdot1010\cdot2019}{6}\right\rbrack\)
\(=2\cdot\left\lbrack2019\cdot1009\cdot505-1009\cdot505\cdot673\right\rbrack\)
\(=2\cdot505\cdot1009\cdot673\left(3-1\right)=1010\cdot1009\cdot673\cdot2\)
\(=673\cdot1009\cdot2020\)
Đặt \(B=1\cdot2+2\cdot3+\cdots+2018\cdot2019\)
\(=1\left(1+1\right)+2\left(2+1\right)+\cdots+2018\left(2018+1\right)\)
\(=\left(1^2+2^2+\cdots+2018^2\right)+\left(1+2+\cdots+2018\right)\)
\(=\frac{2018\left(2018+1\right)\left(2\cdot2018+1\right)}{6}+\frac{2018\cdot2019}{2}\)
\(=\frac{2018\cdot2019\cdot4037+3\cdot2018\cdot2019}{6}=\frac{2018\cdot2019\cdot4040}{6}\)
\(=1009\cdot673\cdot4040\)
Ta có: \(\frac{1\cdot2018+2\cdot2017+\cdots+2018\cdot1}{1\cdot2+2\cdot3+\cdots+2018\cdot2019}\)
\(=\frac{673\cdot1009\cdot2020}{1009\cdot673\cdot4040}=\frac{2020}{4040}=\frac12\)
