Bài 8
Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc AC, hai đường thẳng cắt nhau tại K
a)
Vì CE là đường cao nên:
CE vuông góc AB
Mà BK vuông góc AB
Suy ra:
BK // CE
H thuộc CE nên:
HC // BK
Lại có:
BD vuông góc AC
CK vuông góc AC
Suy ra:
CK // BD
H thuộc BD nên:
BH // CK
Vậy tứ giác BHCK có:
BH // CK
HC // BK
Do đó BHCK là hình bình hành.
b)
Vì BH nằm trên đường cao BD nên:
BH vuông góc AC
HC nằm trên đường cao CE nên:
HC vuông góc AB
Góc giữa BH và HC bằng góc bù với góc BAC.
Do đó:
góc BHC = 180° - góc BAC
= 180° - 70°
= 110°
Vậy góc BHC = 110°
c)Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh H, I, K thẳng hàng
Ở câu a, ta đã chứng minh BHCK là hình bình hành
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Hai đường chéo của BHCK là BC và HK
I là trung điểm của BC nên I cũng nằm trên đường chéo HK
Vậy H, I, K thẳng hàng
Bài 8:
a: BH⊥AC
CK⊥AC
Do đó: BH//CK
CH⊥AB
BK⊥AB
Do đó: CH//BK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}+\hat{DAE}+\hat{DHE}=360^0\)
=>\(\hat{DHE}=360^0-90^0-90^0-70^0=110^0\)
Ta có: \(\hat{DHE}=\hat{BHC}\) (hai góc đối đỉnh)
mà \(\hat{DHE}=110^0\)
nên \(\hat{BHC}=110^0\)
c: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HK
=>H,I,K thẳng hàng
Bài 7:
a: ABCD là hình bình hành
=>\(\hat{BAD}+\hat{ADC}=180^0\)
=>\(\hat{ADC}=180^0-120^0=60^0\)
Ta có: AI//DC
=>\(\hat{AID}=\hat{IDC}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{IDC}=\hat{ADI}\) (DI là phân giác của góc ADC)
nên \(\hat{ADI}=\hat{AID}\)
=>AD=AI
Xét ΔAHD vuông tại H có cos ADH=\(\frac{DH}{DA}\)
=>\(\frac{DH}{DA}=cos60=\frac12\)
=>AD=2DH
=>AI=2DH
b: Xét ΔAHD vuông tại H có sin ADH=\(\frac{AH}{AD}\)
=>\(\frac{AH}{AD}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(AH=AD\cdot\frac{\sqrt3}{2}\)
ΔADI cân tại A
=>\(\hat{ADI}=\hat{AID}=\frac{180^0-\hat{DAI}}{2}=30^0\)
Xét ΔADI có \(cosDAI=\frac{AD^2+AI^2-DI^2}{2\cdot AD\cdot AI}=\frac{2\cdot AD^2-DI^2}{2\cdot AD^2}\)
=>\(2\cdot AD^2-DI^2=2\cdot AD^2\cdot cos120=-AD^2\)
=>\(DI^2=3\cdot AD^2\)
=>\(DI=AD\cdot\sqrt3\)
=>DI=2AH
