a: H là trung điểm của OD
=>\(OH=\frac{OD}{2}=\frac{R}{2}\)
\(OH\cdot OA=\frac{R}{2}\cdot2R=R^2=OM^2\)
=>\(\frac{OH}{OM}=\frac{OM}{OA}\)
Xét ΔOHM và ΔOMA có
\(\frac{OH}{OM}=\frac{OM}{OA}\)
góc HOM chung
Do đó: ΔOHM~ΔOMA
=>\(\hat{OHM}=\hat{OMA}\)
=>\(\hat{OMA}=90^0\)
=>AM là tiếp tuyến của (O)
b: Xét ΔMAO vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\hat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB
\(\hat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó: \(\hat{AMB}=\hat{MCB}\)
Xét ΔAMB và ΔACM có
\(\hat{AMB}=\hat{ACM}\)
góc MAB chung
Do đó: ΔAMB~ΔACM
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AM}\)
=>\(AM^2=AB\cdot AC\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AH\cdot AO=AB\cdot AC\)
=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AO}\)
Xét ΔAHB và ΔACO có
\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AO}\)
góc HAB chung
DO đó: ΔAHB~ΔACO
=>\(\hat{AHB}=\hat{ACO}\)
mà \(\hat{AHB}+\hat{OHB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHB}+\hat{OCB}=180^0\)
=>OHBC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OHC}=\hat{OBC}\)
mà \(\hat{OBC}=\hat{OCB}\) (ΔOBC cân tại O)
và \(\hat{OCB}=\hat{AHB}\)
nên \(\hat{AHB}=\hat{OHC}\)
Ta có: \(\hat{AHB}+\hat{BHM}=\hat{MHA}=90^0\)
\(\hat{OHC}+\hat{MHC}=\hat{MHO}=90^0\)
mà \(\hat{AHB}=\hat{OHC}\)
nên \(\hat{BHM}=\hat{MHC}\)
=>HM là phân giác của góc BHC(ĐPCM)
