Bài 4 (2,5 điểm). Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) ( \( AB < AC \) ). Kẻ \( AH \perp BC; H \in BC \). Lấy điểm \( D \) thuộc tia đối của tia \( HA \) sao cho \( HD = HA \).
a) Chứng minh rằng \( \triangle BHA = \triangle BHD \) và \( BC \) là tia phân giác của góc \( ABD \).
b) Qua \( D \) kẻ một đường thẳng song song với \( AB \); cắt \( BC \) tại \( E \). Chứng minh rằng: \( \triangle HBA = \triangle HED \) và \( AD \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BE \).
c) Kẻ \( CK \) vuông góc với đường thẳng \( AE \); \( K \) thuộc tia \( AE \). Kéo dài \( DE \) cắt \( AC \) tại điểm \( Q \). Chứng minh rằng góc \( ECQ = ECK \) và ba điểm \( C; K; D \) thẳng hàng.
a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHD vuông tại H có
BH chung
HA=HD
Do đó: ΔBHA=ΔBHD
=>\(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\)
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{DBC}\)
=>BC là phân giác của góc ABD
b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHED vuông tại H có
HA=HD
\(\widehat{HAB}=\widehat{HDE}\)(hai góc so le trong, BA//DE)
Do đó: ΔHBA=ΔHED
=>HE=HB
=>H là trung điểm của EB
mà AD\(\perp\)EB tại H
nên AD là đường trung trực của EB
c: Ta có: AB\(\perp\)AC
DE//AB
Do đó: DE\(\perp\)AC tại Q
Xét ΔCAD có
DQ,CH là các đường cao
DQ cắt CH tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔCAD
=>AE\(\perp\)CD
mà CK\(\perp\)AE
và CD,CK có điểm chung là C
nên C,D,K thẳng hàng
Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCHD vuông tại H có
CH chung
HA=HD
Do đó: ΔCHA=ΔCHD
=>\(\widehat{HCA}=\widehat{HCD}\)
=>\(\widehat{ECQ}=\widehat{ECK}\)
