\(ĐK:0\le x\le3\\ PT\Leftrightarrow x^2-3x+1=-\left(x-2-\sqrt{3-x}\right)-\left(x-1-\sqrt{x}\right)\\ \Leftrightarrow x^2-3x+1+\dfrac{x^2-3x+1}{x-2+\sqrt{3-x}}+\dfrac{x^2-3x+1}{x-1+\sqrt{x}}=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+1=0\\1+\dfrac{1}{x-2+\sqrt{3-x}}+\dfrac{1}{x-1+\sqrt{x}}=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(0\le x\le3\Leftrightarrow\dfrac{1}{x-2+\sqrt{3-x}}\ge\dfrac{1}{3-2+\sqrt{3-0}}>0;\dfrac{1}{x-1+\sqrt{x}}\ge\dfrac{1}{3-1+\sqrt{3}}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(1\right)>0\left(vn\right)\\ \Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
Pt này chỉ có 1 nghiệm \(x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\) thôi
Nếu \(0\le x\le3\) thì \(1+\dfrac{1}{x-2+\sqrt{3-x}}+\dfrac{1}{x-1+\sqrt{x}}\) vẫn có thể âm (ví dụ, với \(x=\dfrac{1}{4}\) )
Do đó ngay từ đầu cần biện luận, thu hẹp khoảng x lại để loại nghiệm và chắc chắn liên hợp kia sẽ dương
Nhận thấy \(\sqrt{3-x}+\sqrt{x}>0\) nên \(x^2-x-2>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x>2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2< x\le3\)
Khi đó nghiệm \(x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\) bị loại (nhỏ hơn 2) đồng thời chắn chắn được \(1+\dfrac{1}{x-2+\sqrt{3-x}}+\dfrac{1}{x-1+\sqrt{x}}>0\)
