\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)-3xy\left(x+y\right)-4xy=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-xy\left(3\left(x+y\right)+4\right)=1\)
\(\Leftrightarrow27\left(x+y\right)^3+64-27xy\left(3\left(x+y\right)+4\right)=91\)
\(\Leftrightarrow\left[3\left(x+y\right)+4\right]\left[9\left(x+y\right)^2-12\left(x+y\right)+16\right]-27xy\left[3\left(x+y\right)+4\right]=91\)
\(\Leftrightarrow\left[3\left(x+y\right)+4\right]\left[9\left(x+y\right)^2-12\left(x+y\right)+16-27xy\right]=91\)
Do \(9\left(x+y\right)^2-12xy+16-27xy=\dfrac{1}{2}\left[3\left(x-y\right)^2+\left(3x-4\right)^2+\left(3y-4\right)^2\right]\ge0\)
Nên ta chỉ cần xét các cặp ước dương của 91 (4 cặp)
Nhìn dài dài nên đến khúc này em tự giải :D
Bài này ngoài cách tách nhân tử còn 1 cách khác (do hệ số nhỏ nên áp dụng được).
Pt \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=4xy+1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\in Z\\xy=b\in Z\end{matrix}\right.\) với \(a^2\ge4b\)
\(\Rightarrow a^3-3ab=4b+1\Leftrightarrow a^3-1=b\left(3a+4\right)\)
\(\Leftrightarrow b=\dfrac{a^3-1}{3a+4}\)
Do b nguyên nên 27b nguyên \(\Rightarrow\dfrac{27\left(a^3-1\right)}{3a+4}\in Z\)
\(\Rightarrow9a^2-12a+16-\dfrac{91}{3a+4}\in Z\)
\(\Rightarrow3a+4=Ư\left(91\right)\)
Tới đây đơn giản
