ĐK: \(\hept{\begin{cases}x^3+2x+4\ge0\\x^3-2x+4\ge0\end{cases}}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{x^3+2x+4}\left(a\ge0\right)\\b=\sqrt{x^3-2x+4}\left(b\ge0\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=x^3+2x+4\\b^2=x^3-2x+4\end{cases}}\Rightarrow a^2-b^2=4x\Rightarrow x=\frac{a^2-b^2}{4}}\)
\(pt\Leftrightarrow\left[1+\left(\frac{a^2-b^2}{4}\right)\right]a+\left[1-\left(\frac{a^2-b^2}{4}\right)\right]b=4\)
\(\Leftrightarrow\left(4+a^2-b^2\right)a+\left(4-a^2+b^2\right)b=16\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b+4\left(a+b\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)+4\left(a+b\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)+4\left(a+b\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+4\left(a+b\right)=16\) (1)
Từ pt, ta có: \(\left(1+x\right)a-\left(1-x\right)b=4\)
\(\Leftrightarrow a+b+\left(a-b\right)x=4\) (2)
Thay (1) và (2) vào, ta có:
\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+4\left(a+b\right)=4\left[a+b+\left(a-b\right)x\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2=4\left(a-b\right)x\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a+b\right)\left(a-b\right)-4x\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2-4x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2-b^2=4x\end{cases}}\)
Với \(a=b\) , ta có: \(\sqrt{x^3+2x+4}=\sqrt{x^3-2x+4}\Leftrightarrow x=0\left(TM\right)\)
Với \(a^2-b^2=4x\) , ta có: \(x^3+2x+4-\left(x^3-2x+4\right)=4x\)
\(\Leftrightarrow4x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
Vậy:.........
tớ ra =0 cậu k cho mình nhé
\(\left(x+1\right)\sqrt{x^3+2x+4}+\left(1-x\right)\sqrt{x^3-2x+4}=4\)
\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt{x^3+2x+4}-\sqrt{x^3-2x+4}\right)+\sqrt{x^3+2x+4}+\sqrt{x^3-2x+4}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x^2}{\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}}+\sqrt{x^3+2x+4}+\sqrt{x^3-2x+4}=4\)
Với: \(\left|x\right|>1\Rightarrow VT\ge2\sqrt{4x^2}\ge4\left|x\right|>4\Rightarrow\text{phương trình vô nghiệm }\)
Với: \(-1\le x\le1\) có:
\(\frac{8x^2}{\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}}+2\sqrt{x^3+2x+4}-\left(x+4\right)+2\sqrt{x^3-2x+4}-\left(-x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{8}{\sqrt{x^3+2x+4}+\sqrt{x^3-2x+4}}+\left(4x-1\right)\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x^3+2x+4}+\left(x+4\right)}+\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x-4}+\left(-x+4\right)}\right)=0\)
Nhận ra ngay khi \(x>\frac{1}{4}\) trong ngoặc luôn dương
Với: \(x\le\frac{1}{4}\Rightarrow\left(1-4x\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x^3+2x+4}+\left(x+4\right)}+\frac{1}{2\sqrt{x^3-2x+4}+\left(-x+4\right)}\right)< \left(1+4\right)\left(\frac{1}{21+3}+\frac{1}{21+3}\right)=2\)
Mà ta nhận ra ngay:
\(\frac{8}{\sqrt{x^3+2x+4}+\sqrt{x^3-2x+4}}\ge2\) Vì: \(\sqrt{x^3+2x+4}+\sqrt{x^3-2x+4}\le4\)
=> Biểu thức trong ngoặc luôn dương
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình trên
