Question

Giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+xy^2=y^6+y^4\\2\sqrt{y^4+1}+\dfrac{1}{x^2+1}=3-4x^3\end{matrix}\right.\)

Answer 1

\(x^3-y^6+y^2\left(x-y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x^2+xy^2+y^4\right)+y^2\left(x-y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x^2+xy^2+y^4+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y^2=x\)

Thế xuống pt dưới:

\(2\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}=3-4x^3\)

Ta có: \(x=y^2\ge0\Rightarrow VP=3-4x^3\le3\)

\(VT=2\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{x^2+1}}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=0\Rightarrow y=0\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\) là nghiệm duy nhất của hệ