Question

Giá trị lớn nhất của biểu thức B = xyz (x+y)(y+z)(z+x)  với \(x;y;z\ge0\); x+y+z=1 là K .Khi đó  9³.k =?

(Mọi người ơi ! Giải hộ tớ bài này với ! )

Answer 1

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số không âm x,y,z ta được:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le\frac{1}{27}\)

\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

=>2.(x+y+z) \(\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

=>\(3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le2\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\frac{8}{27}\)

=>\(B\le\frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}\)

Vậy GTLN của B là 8/729 hay k=8/729

=>9³k=8