Question

Giả sử x;y là 2 số thực phân biệt thỏa mãn \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{2}{xy+1}\)

Tính \(P=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{2}{xy+1}\)

Answer 1

Xét \(xy>1\)

Ta chứng minh: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\)(đúng)

Dấu = xảy ra khi \(x=y\) (loại)

Xét \(xy< 1\)

Ta chứng minh: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\le0\)(đúng)

Dấu = xảy ra khi \(x=y\) (loại)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow xy=1\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{2}{1+xy}=\frac{4}{1+xy}=\frac{4}{2}=2\)