\(G=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}=\frac{16}{4}=4\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=2\)
Vậy GTNN của \(G\)là \(4\) khi \(a=b=2\)
Chúc bạn học tốt ~
\(G=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Ta có: \(a,b>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2.1=2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\Leftrightarrow a=b\)
\(\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow G\ge2+2=4\)
\(G=4\Leftrightarrow a=b=2\)
Vậy \(G_{min}=4\Leftrightarrow a=b=2\)
Thấy thừa đk a+b=4
Đây là cách khác nhé.
Cách khác nữa nàk :3
\(G=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\) ( Cosi 2 tích )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=2\)
Chúc bạn học tốt ~
