Question

Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F và O.

Chứng minh rằng ::AB/AE++AD/AF=AC/AO

Answer 1

Qua B, kẻ BN//FE(N∈AC). Qua D, kẻ DM//FE(M∈AC)

Gọi K là giao điểm của BN và AD

AD//BC

=>AK//BC

=>\(\hat{AKB}=\hat{CBN}\) (hai góc so le trong)(1)

Ta có: DM//KN

=>\(\hat{ADM}=\hat{AKN}\) (hai góc đồng vị)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{CBN}=\hat{ADM}\)

Xét ΔMAD và ΔNCB có

\(\hat{MAD}=\hat{NCB}\) (hai góc so le trong, AD//CB)

AD=BC

\(\hat{ADM}=\hat{CBN}\)

Do đó: ΔMAD=ΔNCB

=>MA=NC; MD=NB

Xét ΔABN có OE//NB

nên \(\frac{AB}{AE}=\frac{AN}{AO}\)

Xét ΔADM có FO//DM

nên \(\frac{AD}{AF}=\frac{AM}{AO}\)

\(\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AN+AM}{AO}=\frac{AM+MN+AM}{AO}=\frac{2AM+MN}{AO}=\frac{AM+CN+MN}{AO}=\frac{AC}{AO}\)