Question

\(\Delta ABC\)vuông tại A, trung tuyến AM, đường cao AH. Trên tia đối tia AM lấy điểm P. \(HI\perp AB\left(I\in AB\right)\)và cắt PB tại Q. \(HK\perp AC\left(K\in AC\right)\)cắt PC tại R. CM: IK // QR

 

Answer 1

Gọi E và F lần lượt là giao điểm của tia BA và CA với PC và PB.

Dựng đỉnh thứ tư của hình chữ nhật BACG.

Do tứ giác BACG là hình chữ nhật nên A;G và trung điểm M của BC thẳng hàng

Mà P;A;M thẳng hàng => P;A;G thẳng hàng.

Dễ thấy FA//BG (Quan hệ song song vuông góc)

Áp dụng ĐL Thales cho \(\Delta\)BGP: \(\frac{PF}{FB}=\frac{PA}{AG}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{PE}{EC}=\frac{PA}{AG}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{PF}{FB}=\frac{PE}{EC}\)=> EF // BC (ĐL Thales đảo) \(\Rightarrow\frac{EA}{AB}=\frac{FA}{AC}\)(Hệ quả ĐL Thales) (3)

Ta có: \(\frac{FA}{IQ}=\frac{AC}{IH}=\frac{AB}{IB}\)(Hệ quả ĐL Thales) Suy ra: \(\frac{FA}{AC}=\frac{IQ}{IH}\)(4)

Tương tự ta cũng có tỉ lệ: \(\frac{EA}{AB}=\frac{RK}{KH}\)(5)

Từ (3);(4) và (5) => \(\frac{IQ}{IH}=\frac{RK}{KH}\). Áp dụng ĐL Thales đảo cho \(\Delta\)RHQ => IK//QR (đpcm).