Question

Có một bài khá hay gửi cho các anh thưởng thức:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

\(\frac{x}{y+2}=\frac{y}{x+1}\)

Gợi ý:nguyên lý kẹp

Answer 1

em mới có lớp 7 anh ạ

Answer 2

Lớp 7 cũng làm dc mak!Chẳng qua dùng mấy cái hằng đẳng thức

Answer 3

mấy cái đó bọn em chưa hok

Answer 4

anh ra câu nào dể dể tí đi

Answer 5

Bài easy mà? Nhân chéo thử xem:

\(\frac{x}{y+2}=\frac{y}{x+1}\Rightarrow x\left(x+1\right)=y\left(y+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=y^2+2y\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(y+1\right)^2\)

Do VP là số chính phương nên VT là số chính phương.

Ta cần tìm x sao cho x² + x + 1 là số chính phương. (số chính phương này \(\ge1\) do y nguyên dương)

Đặt \(x^2+x+1=k^2\left(k>1;k\inℕ\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-k^2=-\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}-k\right)\left(x+\frac{1}{2}+k\right)=-\frac{3}{4}\)

 \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}-k\right)\left(x+\frac{1}{2}+k\right)=\frac{1}{4}-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}-k\right)\left(x+\frac{1}{2}+k\right)=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)\)

Xét hai trường hợp:

TH1: \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}-k=\frac{1}{2}-1\\x+\frac{1}{2}+k=\frac{1}{2}+1\end{cases}}\Leftrightarrow2x+1=1\Leftrightarrow x=0\Rightarrow k^2=1\Rightarrow\left(y+1\right)^2=1\Rightarrow y=0\) (loại,vì y nguyên dương)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}-k=\frac{1}{2}+1\\x+\frac{1}{2}+k=\frac{1}{2}-1\end{cases}}\Leftrightarrow2x+1=1\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=0\) (loại)

Vậy không tồn tại x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình (không chắc nha)

Answer 6

Tưởng easy nhưng lại không easy,làm xong lại không chắc=(

Answer 7

Sửa cái : "(số chính phương này > 1 do y nguyên dương)" nha!

Answer 8

Hay là cách này easy hơn nè (lớp 6 nha):

 \(\frac{x}{y+2}=\frac{y}{x+1}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{\left(y+1\right)+1}{x+1}\)

Ta có tính chất: Với \(\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}\Rightarrow a=b\) 

\(\frac{x}{y}=\frac{\left(y+1\right)+1}{x+1}\Rightarrow x=y\)

Thay y bởi x vào pt ban đầu,ta có: \(\frac{x}{x+2}=\frac{x}{x+1}\) (vô lí,do \(x+2\ne x+1\))

Answer 9

Nãy mình giải xàm thôi :v

\(\frac{x}{y+2}=\frac{y}{x+1}\Leftrightarrow x^2+x=y^2+2y\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(y+1\right)^2\)

Do x > 0 nên \(x^{ 2}< x^2+x+1=\left(y+1\right)^2\) (1)

Mặt khác, cũng do x > 0 nên \(x^2+x+1=\left(y+1\right)^2< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\) (2)

Từ (1) và (2) ta có" \(x^2< \left(y+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\) (vô lí)

Vậy không tồn tại x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên.