Điều kiện $\left\{\begin{aligned}&0<x<1\\ &m\sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x} > 0\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&0<x<1\\&m\sqrt x-(1-x)>0\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&0<x<1\\ &m>\dfrac{(1-x)}{\sqrt{x}}>0\end{aligned}\right.$.
Bất phương trình đã cho tương đương
$\log x^3 \leq \log \left(m \sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x}\right)^2$
$\Leftrightarrow x^3 \leq\left(m \sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x}\right)^2 $
$\Leftrightarrow x \sqrt{x} \leq\left(m \sqrt{x-x^2}-(1-x) \sqrt{1-x}\right) $
$\Leftrightarrow m \geq \dfrac{x \sqrt{x}+(1-x) \sqrt{1-x}}{\sqrt{x-x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\sqrt{1-x}\right)+\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right) \geq 2 \sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$.
Suy ra $m \geq \sqrt{x}+\sqrt{1-x}$.
Khảo sát hàm số $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ trên $(0 ; 1)$ ta được $f(x) \geq \sqrt{2} \approx 1,414$.
Vậy $m$ có thể nhận các giá trị $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$.
