Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m 2  có nghiệm thực?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Answer 1

Đáp án A

Xét x ∈ - π ; π  mà 1 + 2 sin x ≥ 0 1 + 2 cos x ≥ 0  suy ra x ∈ - π 6 ; 2 π 3  

Ta có  1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m 2 ⇔ m 2 8 = 1 + sin x + cos x + 1 + 2 sin x 1 + 2 cos x  

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + π 4 ⇒ t ∈ 3 - 1 2 ; 2  mà 2 sin x . cos x = t 2 - 1 .

Khi đó f t = 1 + t + 2 t 2 + 2 t - 1 , có  f ' t = t + 2 t + 1 2 t 2 + 2 t - 1 > 0 , ∀ t ∈ 3 - 1 2 ; 2

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên 3 - 1 2 ; 2 ⇒ m i n f t = f 2 = 2 + 2 2 m a x f t = f 3 - 1 2 = 1 + 3 2  

Do đó, để f t = m 2 8  có nghiệm ⇔ 1 + 3 2 ≤ m 2 8 ≤ 2 + 2 2 ⇔ 2 1 + 3 ≤ m ≤ 4 1 + 2 .