1)
\(a^2\left(a+1\right)+2a(a+1)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
mà a; a+1 ; a+2 là 3 số nguyên liên tiếp luôn \(⋮6\)
=> đpcm
1) a2(a+1) + 2a(a+1)
=(a+1)(a2+2a)
=a(a+1)(a+2)
Vì a; a+1; a+2 là tích 3 số nguyên liên tiếp
=> a(a+1)(a+2) \(⋮\)6
hay a2(a+1) + 2a(a+1) \(⋮\)6
2) a(2a-3) - 2a(a+1)
=2a2-3a-2a2-2a
=-5a \(⋮\)5
hay a(2a-3) - 2a(a+1) \(⋮\)5
Cho các số thực không âm a,b,ca,b,c thoả mãn a+b+c=1a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le\sqrt{3}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\text{|
}a-b\text{|
}\right)+\text{|
}b-c\text{|
}+\text{|
}c-a\text{|
}.\)
tìm x, biết:
a) \(\left(3\text{x}+2\right)\left(x-1\right)-3\left(x+1\right)\left(x-2\right)=4\)
b) \(\left(3\text{x}-5\right)\left(7-5\text{x}\right)-\left(5\text{x}+2\right)\left(2-3\text{x}\right)=4\)
cho a+b=1. Tính gia trị biểu thức:
\(\text{a}=\text{a}^3+b^3+3\text{a}b\)
\(B=4\left(\text{a}^3+b^3\right)-6\left(\text{a}^2+b^2\right)\)
phan tích nhan tử thanh nhan tử:
a)\(3x^2-12y^2\)
b)\(5xy^2-10xyt+5xt^2\)
c)\(x^3+3x^2+3x+1-27x^3\)
d)\(\text{a}^3x-\text{a}b+b-x\)
e)\(3x^2\left(\text{a}+b+c\right)+36xy\left(\text{a}+b+c\right)+108y^2\left(\text{a}+b+c\right)\)
f)\(\text{a}b\left(\text{a}-b\right)+bc\left(b-c\right)+c\text{a}\left(c-\text{a}\right)\)
g)\(\left(\text{a}+b+c\right)^3-\text{a}^3-b^3-c^3\)
h)\(4\text{a}^2b^2-\left(\text{a}^2+b^2-c^2\right)^2\)
CMR
a. \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(2\text{n}-1\right).\left(2\text{n}+2\right)}< \frac{1}{2}\)
b. \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{\text{n}^2}< \frac{5}{3}\left(\text{n}>1\right)\)
Tìm x, biết:
a) \(x\left(x-1\right)-x^2+2\text{x}=5\)
b) \(8\left(x-2\right)-2\left(3\text{x}-4\right)=2\)
c) \(\left(3\text{x}+2\right)\left(x-1\right)-3\left(x+1\right)\left(x-2\right)=4\)
d) \(\left(3\text{x}-5\right)\left(7-5\text{x}\right)-\left(5\text{x}+2\right)\left(2-3\text{x}\right)=4\)
CMR với mọ n\(\in\)\(\text{Z }\), cac biểu thức sau la bình phương của số nguyên
\(\text{A}=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
\(\)
Biết rằng bất phương trình \(\text{log}_2\left(5^2+2\right)+2\text{log}_{\left(5x+2\right)}2>3\) có tập nghiệm \(S=\left(\text{log}_ab;+\infty\right)\) với a;b là các số nguyên dương < 6 và \(a\ne1\)
Tính: P = a + 2b
Mạnh mẽ hơn Nesbitt?
Với a, b, c là các số thực sao cho: \(a+b+c>0,\text{ }ab+bc+ca>0,\text{ }\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\) thì:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\ge\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)-\frac{9}{4}\)
Chứng minh: \(4\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\cdot\left(\text{VT}-\text{VP}\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left[\Sigma\left(ab+bc-2ca\right)^2+\left(ab+bc+ca\right)\Sigma\left(a-b\right)^2\right]\)
\(+\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\ge0\)
