Gọi (3n + 1; 4n + 1) = d
Ta có: 3n + 1 \(⋮d\)
4n + 1 \(⋮d\)
Xét hiệu: 4(3n + 1) - 3(4n + 1) \(⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)12n + 4 - 12n - 3 \(⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)1 \(⋮d\) \(\Leftrightarrow\)d = 1
Vậy 3n + 1 và 4n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau \(\forall n\) \(\in N\)( \(\ne0\))
Gọi ƯCLN(3n + 1, 4n + 1) = d ( d thuộc N, d khác 0 )
=> 3n + 1 chia hết cho d; 4n + 1 chia hết cho d
=> (3n + 1) . 4 chia hết cho d; (4n+1) . 3 chia hết cho d
=> 12n + 4 chia hết cho d; 12n + 3 chia hết cho d
=>[ (12n + 4 ) - ( 12n + 3 ) ] chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=>d thuộc Ư(1)
=> d = 1
Vậy với mọi n thuộc N và n khác 0 thì 3n + 1; 4n + 1 nguyên tố cùng nhau
Gọi ƯCLN(3n+1;4n+1)=d
Suy ra : 3n+1 chia hết cho d =>4.(3n+1) chia hết cho d Hay 12n+4 chia hết cho d
4n+1 chia hết cho d => 3.(4n+1) chia hết cho d Hay 12n+3 chia hết cho d
Nên (12n+4)-(12n+3) chia hết cho d
Hay chia hết cho d =>d=1
Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số 3n+1 và số 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau
NHỚ K CHO MÌNH NHA
CHÚC BẠN HỌC GIỎI !
