Question

CMR với mọi số nguyên dương n thì các  phân số sau tối giảin

a. \(\frac{3n+1}{5n+2}\)

b.\(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)

Answer 1

a) Đặt \(A=\frac{3n+1}{5n+2}\). Gọi ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = d \(\left(d\ge1\right)\) 

Khi đó : \(3n+1⋮d\) và \(5n+2⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\) và \(3\left(5n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(5n+2\right)-5\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\)

Suy ra ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = 1 , vậy A là phân số tối giản.

b)  Đặt \(B=\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) . Gọi ƯCLN(n³+2n , n⁴+3n²+1) = d \(\left(d\ge1\right)\)

Khi đó : \(B=\frac{n\left(n^2+2\right)}{n^2\left(n+2\right)+n^2+1}\)

Ta có : \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) và \(n^2\left(n+2\right)+n^2+1⋮d\)

Từ  \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}n⋮d\\n^2+2⋮d\end{array}\right.\)

TH1. Nếu \(n⋮d\) thì ta viết dưới mẫu thức B dưới dạng : 

\(n\left(n^3+3n\right)+1⋮d\) . mà n(n³+3n)\(⋮\)d => \(1⋮d\) \(\Rightarrow d\le1\)

Mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\). Lập luận tương tự câu a) , suy ra đpcm

TH2. Nếu \(n^2+2⋮d\) thì ta viết mẫu thức B dưới dạng : 

\(\left(n^4+2n^2\right)+\left(n^2+2\right)-1=\left(n^2+2\right)\left(n^2+1\right)-1⋮d\)

mà  n²+2 \(⋮\)d nên \(1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\) => d = 1

Lập luận tương tự...

 

Answer 2

a)Gọi UCLN(3n+1;5n+2) là d

Ta có:

[3(5n+2)]-[5(3n+1)] chia hết d

=>[15n+6]-[15n+5] chia hết d

=>1 chia hết d.Suy ra 3n+1 và 3n+5 là số nguyên tố cùng nhau

=>Phân số tối giản 

b)Gọi d là UCLN(n³+2n;n⁴+3n²+1)

Ta có:

n³+2n chia hết d =>n(n³+2n) chia hết d

=>n⁴+2n² chia hết d (1)

n⁴+3n²-(n⁴+2n²)=n²+1 chia hết d

=>(n²+1)²=n⁴+2n²+1 chia hết d (2)

Từ (1) và (2) => (n⁴+3n²+1)-(n⁴-2n²) chia hết d

=>1 chia hết d

=>d=1.Suy ra n³+2n và n⁴+3n²+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=>Phân số trên tối giản