Question

CMR: \(\frac{x+1}{2x+1}\ge\frac{2}{3}\) 

Answer 1

Ta thấy: \(\frac{x+1}{2x+1}< 1\). Áp dụng BĐT: Với \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a-1}{b-1}< \frac{a}{b}\). Ta có:

\(\frac{\left(x+1\right)-1}{\left(2x+1\right)-1}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}< \frac{x+1}{2x+1}\)

Ta cũng có BĐT: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(m\ne0\right)\). Áp dụng vào ta có:

\(\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}< \frac{x+1}{2x+1}=\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}\). Từ đây,ta có: \(\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2}{3}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Answer 2

Bạn nên lưu ý rằng: BĐT chỉ đúng với x = 1 thôi nhé!