Question

Cmr:  \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)≥\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{a}\)
giúp mình với ạ

 

Answer 1

Nếu a và b khác dấu thì bđt hiển nhiên đúng vì 1 vế ≥0 và 1 vế ≤0
Nếu a và b cùng dấu => \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)<=>a⁴+b⁴≥ab³+a³b(nhân 2 vế với số dương ab)<=> a⁴+b⁴≥ab(a²+b²) (*) 
ta có (x-y)²≥0 <=> x²+y²≥2xy <=> 2(x²+y²)≥ x²+2xy+y²=(x+y)²
áp dụng bđt trên
 => 2(a⁴+b⁴):2≥\(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)≥\(\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}\)(bđt cô si)<=>a⁴+b⁴≥ab³+a³b(đpcm)